Главная / Виды калькуляторов / Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор комплексных чисел

Чтобы быстро и правильно выполнить операцию с комплексными числами, воспользуйтесь данным онлайн калькулятором, для этого необходимо:

  • ввести в ячейки калькулятора вещественную и мнимую части каждого числа;
  • выбрать из списка операцию, которую необходимо произвести;
  • нажать кнопку. Через считанные секунды вы получите точный ответ.

Сложение:

[ (x1+x2) + (y1+y2)i ]

a:
bi:
a:
bi:
Сумма :

Вычитание:

[ (x1-x2) - (y1-y2)i ]

a:
bi:
a:
bi:
Разность :

Умножение:

[ (x+iy) × (x+iy) ]

a:
bi:
a:
bi:
Произведение :

Деление:

[ (x+yi) / (x+yi) ]

a:
bi:
a:
bi:
Деление :

Квадратный корень:

[ r1 = x+yi ; r2 = -x-yi ]

a:
bi:
r1 :
r2 :

Числа вида a+bi называются комплексными (мнимыми) числами, где a,b — вещественные (или действительные) числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i2 = -1, т.е. мнимая единица в квадрате является отрицательным числом, равным -1. Комплексные числа расширяют понятие действительного числа, позволяют в удобной форме описывать математические модели всевозможных прикладных процессов.

Комплексное число z можно представить в алгебраической, тригонометрической или показательной (экспоненциальной) форме.

1. Алгебраическая запись: z = a + bi, где a и b являются вещественными числами, причем, a — действительная часть, bi — мнимая, i — мнимая единица.

2. Тригонометрическая запись: z = r (cos + i sin φ), где r — модуль комплексного числа, z — расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат.

Модуль комплексного числа — вещественное число |z|, равное корню квадратному из суммы квадратов вещественных чисел (a и b): r = |z| = √a2 + b2

Аргумент комплексного числа z — угол φ, образованный радиус-вектором точки, соответствующей комплексному числу. Значение аргумента находится в диапазоне (-π...π], для всех целых k определяется с точностью 2πk: φ = Аrg (z) = arctg (b/a). Для z, равного нулю, аргумент не определен.

3. Для сокращения Эйлер ввел Показательную запись: z = rе

Действия над комплексными числами

1. Сложение: z1 + z2 = (а1 + а2) + (b1 + b2) i, где z1 = а1 + b1i; z2 = а2 + b2i. При сложении комплексных чисел складываются их реальные и мнимые части, причем, сумма не изменится от перемены мест слагаемых.

2. Вычитание: z1 — z2 = (а1 — а2) + (b1 — b2) i. При вычитании комплексных чисел вычитаются их реальные и мнимые части.

3. Умножение: z1z2 = (а1а2 — b1b2) + (а1b2 + а2b1) i, зная что i*i=-1. Умножение комплексных чисел выполняется по правилам умножения многочленов.

4. Деление: z1 / z2 = (a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c2 + d2) + ((bc — ad) / (c2 + d2)) i, где z1 = a + bi; z2 = c + di. Деление выполняется путем умножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю.

5. Возведение в целую степень. Для возведения комплексного числа во вторую степень можно записать степень, как произведение двух множителей и выполнить операцию умножения по правилу умножения многочленов. Для возведения комплексного числа в большую степень проще воспользоваться показательной формой: zn = rneinφ полученной из формулы Муавра: (cos (х) + isin (х))n = cos (nх) + isin (nх).

6. Вычисление корня n-ой степени: , где k — целое число в диапазоне 0...n-1